Karl Ove Hufthammer

Lotto og sannsynsrekning

15. juli 2003 (oppdatert 2. juni 2009)

Dette er ei øving i statistisk pedagogikk. Korleis ein best kan formidla emne i sannsynsrekning og statistikk er noko som er interesserer meg, og denne artikkelen er eit lite eksperiment i dette.

Forbrukarombodet om lotto

Eg valte å skriva artikkelen etter å ha lest fleire artiklar om ulovlig marknadsføring av ymse «lottosystem» hos Forbrukarombodet:

Er alle lottorekker like sannsynlige?

Det er påfallande kor løgnaktige alle som relamerer for lottosystem er (eksempelvis viser dei til ikkje-eksisterande personar som visstnok har vunne mange millionar med lottosystema), men det som for meg er mest interessant, og som er utgangspunktet for denne artikkelen, er følgjande påstand frå Forbrukarombodet:

Det finnes intet system som kan forbedre sannsynligheten for å få 7 rette så lenge man velger ulike rekker. [Deira utheving.]

Dette er heilt rett. Og meir spesifikt er alle mulige lottorekker like sannsynlige. Dette medfører at du har like stort sannsyn for å få sju rette med rekka

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

som med for eksempel rekka

10, 16, 33, 29, 7, 25, 9

Me menneske er av natur veldig dårlig i sjølv elementær sannsynsrekning (dette har me mykje interessant forsking på), og klarar gjerne ikkje å skjønna at dei to lottoresultata kan vera like sannsynlige, sjølv om me får det forklart matematisk.

Derfor skal eg, i staden for å bruka formlar og direkte sannsynsrekning til å forklara dette, heller visa at å anta det motsette (at sannsyna er forskjellige for dei to rekkene) vil føra til noko absurd (eit sokalla «reductio ad absurdum»-argument). Slapp av; det er ingen matematikk (eksplisitt) involvert!

Først la oss anta at du meiner det er større sannsyn for at lottoresultatet skal verta

10, 16, 33, 29, 7, 25, 9

enn med

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

(viss du ikkje meiner eller «føler» dette, er resten av ingen interesse, og du kan hoppa ned til slutten av artikkelen for litt kuriosa og ei tankenøtt).

La oss no måla alle kulene i forskjellige fargar, slik at for eksempel kula 1 vert svart, kula 2 vert blå, og so vidare. (Det er jo sånn det gjerne er i lotto.) Me får:

svart 1, blå 2, grøn 3, turkis 4, raud 5, lilla 6, gul 7

og

mørkegrøn 10, grå 16, brun 33, mørkelilla 29, gul 7, oransje 25, lyseblå 9

Berre å måla kulene med fargar vil sjølvsagt ikkje endra sannsyna, so du meiner framleis at rekka «mørkegrøn 10, grå 16, brun 33, …» er meir sannsynlig enn «svart 1, blå 2, lysegrøn 3, …». Greitt! Men la oss no òg måla over tala (igjen vil ikkje dette endra sannsyna). Me får:

svart, blå, grøn, turkis, raud, lilla, gul

og

mørkegrøn, grå, brun, mørkelilla, gul, oransje, lyseblå

No står me igjen med to rekker med sju kuler: «svart, blå, grøn, turkis, raud, lilla, gul» og «mørkegrøn, grå, brun, mørkelilla, gul, oransje, lyseblå». Påstanden din er no at den andre rekka er meir sannsynlig enn den første. Men det verkar jo absurd! Korfor skulle éi rekkja med farga kuler vera meir sannsynlig enn ei anna? (Og kva skulle då avgjera kven som var mest sannsynlig? Vil for eksempel mørke fargar vera meir sannsynlige enn lyse?)

Svaret er klart at dei to rekkene er like sannsynlige. Og sidan det er snakk om nøyaktig same kuler som når dei hadde tal på seg, må me konludera med at alle mulige lottorekkjer må vera like sannsynlige. Det er berre eit tilsynelatande mønster på dei nummererte kulene som gjer at desse verkar «usannsynlige».


No er eg interessert i å høra korleis denne artikkelen fungerte. Vart du overbevist? Eller ikkje? Hadde du tidligare vorte fortalt at rekka «1, 2, 3, 4, 5, 6, 7» er like sannsynlig som alle andre? (For ordens skyld: Sannsynet for at ei rekka skal gje sju rette er omtrent 0,00000019.) Er det noko interesse for fleire artiklar om sannsynsrekning og statistikk? Og ikkje minst: Var det ikkje fine lottokuler eg hadde teikna‽

Når det gjeld lottosystem, er det ein ting å seia: Det finst ingen og det er beviselig umulig å laga lottosystem som aukar forventa forteneste (gitt alle andre tippar tilfeldige tal) per rekka. Den einaste måten du kan auka den forventa fortenesta på (ordet «fortenesta» er for øvrig misvisande – det er snakk om å redusera forventa tap), er å la vera å spela lotto. Det vert gjerne sagt at lotto er ei form for ekstraskatt for menneske som ikkje kan sannsynsrekning.


Kuriosa og ei tankenøtt

Kuriosa

Eg skreiv at måling av lottokulene ikkje ville ha noko innverknad på sannsynet. Dette stemmer (for alle praktiske formål, eller gitt at alle målingstypane har nøyaktig same fysiske eigenskapar). Men viss du derimot sprøyter målinga inn i kulene er situasjonen ein annan:

I Pennsylvania-lotteriet i 1980 hadde ein berre 3 einsifra vinnarkuler. Programleiaren og nokre av medarbeidarane i fjernsynstrekninga sprøyta måling i alle kulene med 8 av dei 10 sifra, slik at desse vart tunge og ikkje kunne verta trekt av lottomaskina. Dei satsa so mykje pengar på alle kombinasjonane kulene med dei resterande 2 sifra kunne dukka opp i. Vinnarkombinasjonen vart 6–6–6, og gjerningsmenna vann til saman over ein million dollar. Dei vart tatt!

Historia er henta frå femteutgåva av den utmerka boka Statistics: Concepts and Controversies av David S. Moore (ISBN 0-7167-4008-7).

Tankenøtt

La oss sjå litt nøyare på lottorekka

svart 1, blå 2, grøn 3, turkis 4, raud 5, lilla 6, gul 7

Talmønsteret er klart, men er det ikkje eit anna mønster her òg? Kva farge ville den åttande kula ha hatt? Fem plusspoeng til den som klarar denne! ☺

Emne: Matematikk og statistikk

[Abonner på kommentarar til artikkelen]

Kommentarar

Legg til kommentar





Du kan bruka dei vanligaste elementa og attributta i HTML. Avsnitt lagar du med vanlige linjeskift. Eg kan komma til å gjera typografiske og ortografiske endringar i innlegg (men vil aldri endra sjølve innhaldet), samt fjerna upassande innlegg.

Skriven av Karl Ove Hufthammer og driven med WordPress. Du kan abonnera på innleggs-RSS eller kommentar-RSS.