Karl Ove Hufthammer

Val – men kva meiner folket?

27. august 2005 (oppdatert 24. mai 2009)

Det er snart val, og tid for folket å velja kven som skal styra landet. Men kva meiner eigentlig «folket»? Det er langt frå alltid like lett å finna ut av. Det er faktisk ikkje so enkelt å definera eingong.

La oss sjå vekk frå storpolitikk ein augneblink, og heller konsentrera oss om mat. Sjølv om du er glad i mat, likar du nok noko mat betre enn annan. La oss no tenka oss at du likar pizza betre enn pasta, og pasta betre enn potetstappa. Då lika pizza betre enn potetstappa. Ein slik preferansetransitivitet er veldig naturlig. Ein person som seier han likar pizza betre enn pasta, pasta betre enn potetstappa, men potetstappa betre enn pizza vil nok mange karakterisa som ein person som ikkje heilt er ved sinne fulle fem!

Men so enkelt er det ikkje lenger viss me ser på grupper av menneske. La oss tenka oss at «folket» er sett saman av tre typar menneske, som alle er rasjonelle og soleis har preferansetransitivitet. Det finst omtrent 30 stykk av kvar type:

pizza > pasta > potetstappa = 31
pasta > potetstappa > pizza = 30
potetstappa > pizza > pasta = 29

(Det er altso 31 stykk som føretrekker pizza framfor pasta framfor potetstappa.)

I eit fleirtalsval (der alle stemmer på sin favoritt) vil sjølvsagt pizza vinna, med 31 av 90 stemmer. Men la oss sjå nærare på situasjon viss det berre var to kandidatar: I ein konkurranse mellom pizza og pasta, vil pizza vinna (med rundt ⅔ av stemmene). I ein konkurranse mellom pasta og potetstappa, vil pasta vinna (med rundt ⅔ av stemmene). Og i ein konkurranse mellom potetstappa og pizza, vil potetstappa vinna (igjen med rundt ⅔ av stemmene). Fleirtalet føretrekker altso pizza framfor pasta, pasta framfor potetstappa, men potetstappa framfor pizza! Me kan ikkje anta «gruppetransitivitet» i fleirtalsval.

La oss no sjå på ein litt annan samansetjing av «folket»:

pizza > pasta > potetstappa = 31
pasta > potetstappa > pizza = 30
potetstappa > pasta > pizza = 29

Igjen vil pizza vinna ein knipen siger i eit fleirtalsval. Men her synest faktisk nesten to tredalar at pizza er den aller verste kandidaten. Og viss det berre var to kandidatar, ville pizza tapt både mot pasta og mot potetstappa (med pizza med berre rundt halvparten so mange stemmer som motkandidaten). Pizza kan soleis vanskelig seiast å vera ein verdig vinnar, og det er klart fleirtalsmetoden gjev eit «upassande» valresultat.

Men viss fleirtalsmetoden er so dårlig, kva metode skal me bruka? Det finst mange å velja mellom. Me kan for eksempel velja å kjøra ein andre valgomgang mellom dei to kandidatane som fekk flest stemmer. (Denne måten å stemma på er ganske vanlig, både ved regjeringsval og ved ulike val i organisasjonar og næringsliv.) Her vil no pasta vinna, med nesten dobbelt so mange stemmer som pizza. Ein annan valmåte me kan tenka oss, er at kvar veljar gjev poeng til kvar kandidat: 3 poeng til favoritten, 2 poeng til han han likar nest best og 1 poeng til han han likar dårligast. Då får pizza 152 poeng, potetstappa 178 poeng, og pasta vinn med 210 poeng. Same vinnar som før, altso. Men det finst som sagt endå fleire måtar å gjennomføra stemmeopptellinga på, og kven har sagt at ein av desse to er den beste?

La oss no utvida «folket» til å velja mellom fem ulike kandidatar, eller parti, om du vil:

A > D > E > C > B = 18
B > E > D > C > A = 12
C > B > E > D > A = 10
D > C > E > B > A = 9
E > B > D > C > A = 4
E > C > D > B > A = 2

Med vanlige fleirtalsval vil A vinna (med 18 av 55 stemmer).

Men viss me heller introduserer ein andre valomgang mellom dei to partia som fekk flest stemmer, vil B vinna (med over dobbelt so mange stemmer som A).

Ein annan rimelig valmåte, er å først fjerna partiet med færrast stemmer, so utføra andre valomgang med dei resterande, so fjerna partiet med færrast stemmer, utføra tredje valomgang, og so vidare, til me står igjen med éin vinnar. Og her vert vinnaren faktisk C!

Me kan òg bruka poengmetoden, med 5 poeng til favoritten, 4 til den ein likar nestbest, og so vidare. Då vert fordelinga slik: A = 127, B = 156, C = 162, D = 191, E = 189. Altso vinn D!

Men kva so med E? Kan E òg vinna? Ja, viss det berre var to parti som stilte (E og eitt anna), ville E faktisk vunne over både A, B, C og D! Sidan folket føretrekker E framfor alle dei andre partia, er det då klart at E er den verdige vinnaren. Eller?

No har me sett at ulike valmetodar kan føra til vidt forskjellige vinnarar. Og det er langt frå klart kva parti folket «eigentlig» føretrekker. Men det må då finnast ein perfekt valmetode? Dessverre, nei. Det har faktisk blitt matematisk bevist at ved eitkvart val med meir enn to kandidatar kan einkvar valmetode gje resultat som rimeligvis kan oppfattast «upassande».

La oss vera litt meir presise. Me antar kvart individ har ein preferanse (som «A ≤ B ≤ C», der det er lov å lika to kandidatar «like godt»), og me ønskjer på grunnlag av dette å finna ein «folkpreferanse» – ei rangering av kandidatane hos folket. Me definerer so fire (rimelige) krav kvar velmetode/rangering må oppfylla:

  1. Viss alle individ føretrekker A framfor B, må òg folket gjera det.
  2. Rangeringa av to kandidatar i folket skal berre vera avhengig av rangeringa hos individa. La oss tenka oss at folket i utgangspunktet føretrekker A framfor B. Viss det no vert introdusert ein ny kandidat, C, skal ikkje dette kunne føra til at folket plutselig føretrekker B framfor A.
  3. Viss folket føretrekker A framfor B, og B framfor C, må dei føretrekka A framfor C.
  4. Inkje enkeltindivid kan automatisk avgjera valet (diktatur).

Kenneth Joseph Arrow beviste at so lenge ein har minst tre kandidatar og folket består av minst tre individ, finst det ingen valmetode som oppfyller alle desse krava (dette kallast Arrows teorem). Seinare fekk han prisen i økonomiske vitskapar til minne om Alfred Nobel for blant anna dette.

Men sjølv om det ikkje finst nokon valmetode som oppfyller alle krava, vil dette sjølvsagt ikkje seia at alle valmetodar er like gode. Dei fleste vil nok vera einige i at eit «diktaturval» er ein av dei verste metodane. Og av dei hyppigst brukte metodane, er nok den vanlige fleirtalsmetoden den dårligaste.

Kjelder

Eg har brukt desse kjeldene i arbeidet med artikkelen:

Emne: Matematikk og statistikk

[Abonner på kommentarar til artikkelen]

Kommentarar

Legg til kommentar





Du kan bruka dei vanligaste elementa og attributta i HTML. Avsnitt lagar du med vanlige linjeskift. Eg kan komma til å gjera typografiske og ortografiske endringar i innlegg (men vil aldri endra sjølve innhaldet), samt fjerna upassande innlegg.

Skriven av Karl Ove Hufthammer og driven med WordPress. Du kan abonnera på innleggs-RSS eller kommentar-RSS.