Karl Ove Hufthammer

Rulett og myntkast i det lange løp

19. desember 2004 (oppdatert 24. mai 2009)

Ruletthjulet har landa på raud 5 gongar på rad. Det er din tur til å satsa. Men kva skal du satsa på? Raud eller svart?

Det er sjølvsagt veldig fristande å satsa på svart. Kor stort er tross alt sannsynet for å få raud 6 gongar på rad‽ Og det er vel slik at det i det lange løp skal bli omtrent like mange svarte som raude, slik at overskotet på dei 5 raude må opphevast av svarte før eller seinare? (Du har kanskje hørt at i sannsynsrekning finst det ei lov – «store tals lov» – som seier dette.)

Ein slik tankegang er naturlig, men feilaktig. La oss sjå på grunnen. Og la oss for enkelheits skyld tenka på utfalla som myntkast, der me har 50 % sannsyn for å få kron, og enkeltkasta er uavhengige av kvarandre. (I rulett er det alltid med eitt eller to grøne felt, slik at sannsynet for svart eller raud begge er mindre enn 50 %.)

Her har eg simulert hundre tusen myntkast på datamaskina, og tabellen viser kor mange av desse som vart kron, kor mange som vart mynt, differansen mellom antal kron og antal mynt, relativt antal kron og forholdet mellom antal kron og antal mynt.

Kast Kron Mynt Kron – mynt Kron/kast Kron/mynt
10 7 3 4 70,00 % 2,33
100 59 41 18 59,00 % 1,44
1 000 523 477 46 52,30 % 1,10
10 000 5099 4901 198 50,99 % 1,04
100 000 50308 49692 616 50,31 % 1,01

Her er det verdt å merka seg at overskotet me starta med ikkje går mot 0 når me held fram å kasta; det aukar faktisk! Relativt antal kron går derimot mot 50 %, og forholdet mellom antal kron og antal mynt (estimert odds) går mot 1.

Det store tals lov seier, er nemlig (blant anna) at den relative frekvensen vil gå mot det teoretiske sannsynet. Men forskjellen mellom antal kron og antal mynt vil ikkje gå mot ein spesiell verdi (me seier at han ikkje konvergerer). Det er trua på at dette vil skje som vert kalla «spelarens feilslutning» (på engelsk: «gambler’s fallacy»). Det er ikkje slik at mynten «hugsar» kva han fekk på førre kast, og kan kompensera for dette.

La oss no tenka oss at me spelar eit spel der me kastar ein mynt til du ikkje vil meir, og der du vinn éi krone om det blir kron, og tapar ho om det blir mynt. Tilfeldigvis vart dei 10 første kasta mynt. Har du lyst å spela meir for å ta igjen det tapte? La oss sjå korleis det går (simulert på datamaskina):

Du klarte ikkje gjera opp for underskotet på dei 50 første kasta. Men du fekk no redusert det litt. Vil du prøva meir?

Uff, uff. No auka underskotet. Spela meir?

Gjekk visst ikkje so bra, dette. Men du gjev vel ikkje opp?

Nei, og nei! Men med éin million kast må du no vel få tatt igjen underskotet på 10 kroner? (Du har no ei gjeld på 500.)

Nei, gjelda er like stor. Men som du ser, går det både opp og ned, so det kan henda du kjem i 0. Men det tar gjerne veldig mange myntkast. (Akkurat denne simuleringa her er ikkje heilt representantiv, då me vanligvis når 0 før éin million kast.) For øvrig er relativt antal kron veldig nær 50 % i dette tilfellet.

Men var det ikkje slik at mynten ikkje hugsa tidligare resultat, og derfor ikkje kunne kompensera for dette? Men han kompenserer jo for dei 10 første kron-resultata, slik at det i snitt blir rundt 50 % kron‽ Grunnen er ganske enkelt at dei 10 første kasta forsvinn som ein dråpe i havet samanlikna med dei 999 990 neste. Mynten er framleis hukommelseslaus!

Det er for øvrig korrekt at sannsynet for for eksempel 6 kron på rad ikkje er stort, det er (1/2)6, eller 1/64. Det vil seia at viss du kastar ein mynt 6 gongar, gjentar til du får 6 like, og so gjentar forsøket mange gongar, vil du i snitt bruka rundt 64 kast. Men gitt at det har komme 5 kron til no, er sannsynet for at òg neste er kron 50 %.

Når du har sett at ruletthjulet har landa på raud fleire gongar, kan du altso gjera to vanlige feilslutningar:

  1. Raud er tydeligvis i skotet i dag. Best å satsa på raud, altso.
  2. No har det komme raud so mange gongar, at det snart komma svart. Best å satsa på svart, altso.

Rett slutning er: Sidan eg har oddsen sterkt mot meg, bør eg ikkje satsa i det heile tatt, men heller gå heim og bruka pengane på, for eksempel, ei flaska god raudvin!


Til slutt er det kanskje på sin plass å sjå litt nærare på føresetnadene brukt: At sannsynet er 50 % for kron og at myntkasta er uavhengige. Stemmer dette? Tja, godt nok iallfall. Men sjå desse to artiklane:

Emne: Matematikk og statistikk

[Abonner på kommentarar til artikkelen]

Kommentarar

Legg til kommentar





Du kan bruka dei vanligaste elementa og attributta i HTML. Avsnitt lagar du med vanlige linjeskift. Eg kan komma til å gjera typografiske og ortografiske endringar i innlegg (men vil aldri endra sjølve innhaldet), samt fjerna upassande innlegg.

Skriven av Karl Ove Hufthammer og driven med WordPress. Du kan abonnera på innleggs-RSS eller kommentar-RSS.